Probability Theory Law of the Exponential Functional of One-sided Lévy Processes and Asian Options

The purpose of this note is to describe, in terms of a power series, the distribution function of the exponential functional, taken at some independent exponential time, of a spectrally negative Lévy process ξ = (ξt, t ≥ 0) with unbounded variation. We also derive a Geman-Yor type formula for Asian options prices in a financial market driven by eξ. Résumé. Loi de la fonctionnelle exponentielle de processus de Lévy assymétriques et options asiatiques. L’object de cette note est de donner une représentation, en terme d’une série entière, de la distribution de la fonctionnelle exponentielle, considérée en un temps exponentiel indépendent, d’un processus de Lévy ξ spectrallement négatif, à variation infinie et pouvant être tué. Nous en déduisons une formule du type Geman-Yor pour le prix des options asiatiques dans un marché financier dirigé par eξ. Version française abrégée Soit ξ = (ξt)t≥0 un processus de Lévy à valeurs réelles spectralement négatif et dont les trajectoires sont à variation infinie. Cela signifie que ξ est un processus dont les accroissements sont stationnaires et indépendants et par ailleurs le processus n’effectue que des sauts négatifs. Il est bien connu que la loi du processus ξ est caractérisée par la loi de la variable aléatoire ξ1 et par conséquent par l’exposant de Laplace de cette dernière que nous écrivons ψ. Sous les conditions H, données dans le corps de la note, nous proposons de décrire la loi de la variable aléatoire Σeq = ∫ eq 0 esds, où eq est une variable aléatoire indépendente de ξ et suivant une loi exponentielle de paramètre q ≥ 0, où nous comprenons que e0 =∞. La distribution de Σeq apparâıt dans différents domaines des probabilités et également dans différents champs des mathématiques appliquées. Malheureusement, la connaissance explicite de cette loi se réduit à quelques cas particuliers, dont celui du mouvement brownien avec dérive. A cet effet, nous indiquons l’excellent papier de Bertoin et Yor [3] où une description de ces cas particuliers et des enjeux sous-jacents à l’étude de la loi de Σeq sont détaillés. Le résultat principal que nous énonçons dans cette note consiste en une représentation de la loi de Σeq en terme d’une série entière dont les coefficients sont définis à l’aide de l’exposant de Laplace ψ. Une conséquence intéressante de cette représentation est l’obtention d’une formule pour le prix des options asiatiques dans un marché financier dirigé par e. Ce résultat généralise la formule de Geman et Yor [6] obtenue dans le cadre du modèle de Black-Scholes.